수리영역 공부법

수능 공부를 하기에 앞서…
<미칠 정도로 공부한다는 생각으로 ......>
고3이 되는 겨울방학이라면, 모두들 ‘수능 고득점’을 위해서, 수능 공부를 시작합니다. 그러나 모두들 좋은 결과를 얻진 못합니다. 좋거나 나쁘거나 수능 점수가 나오면, 또 대부분의 사람들은 점수에 맞춰 학교를 선택하지요. 하지만, 대학을 가기에 앞서, 여러분들이 한번쯤은, 내가 무엇을 하고 싶은가에 대해 고민해 보았으면 합니다. 수능 공부를 하느라 바쁘더라도, 여러 자투리 시간들을 이용하여 자신이 미래에 무슨 일을 할 지에 대한 계획을 세워보시길 추천합니다. 물론 구체적일수록 좋습니다. 여러분들이 가지는 ‘확실한 목표’가 여러분이 1년간 버틸 수 있는 기둥이 될 것입니다. 만약 목표가 단순한 수능 고득점이라 하더라도, 1년간 여러분들을 붙잡아 줄만한 것이라면 무엇이던 좋습니다.
목표 그리고 계획의 중요성은 몇 번을 말해도 지나침이 없습니다
어떤 일을 할 때 목표를 가지고 계획을 세우고 하는 사람과 안하는 사람 사이에는 분명 엄청난 차이가 있습니다
많은 학생들이 다이어리를 삽니다 또는 계획표를 작성합니다 근데 이 계획

 

 

표 대로 생활하기란 쉽지가 않습니다 ‘오늘 하루는 괜찮겠지?’ ‘오늘 못한거 내일 하면 되지’ 라는 생각 을 함으로써 점점 더 게을러지고 무 계획적이 되어 갑니다 그러므로 오늘 할 일을 내일로 미루지 말아라! 그리고 가장 중요한 것중에 하나가 ‘공부 한 후에 놀아라’입니다
나 1시간 컴퓨터 하고 2시간 공부해야지가 아니라 2시간 공부하고 1시간 컴퓨터 해야지입니다 순서가 바뀌어서는 절대 안됩니다
혼자서 계획 세우는게 힘들면 친구들끼리 서로 공부를 체크 해주는 것도 좋고 인터넷에 많이 퍼진 스터디 다이어리 형태의 그룹을 짜서 하는것도 좋습니다

http://fernweh.co.kr/zb5/?sid=135 다음과 같은 예를 들어 드립니다 이런 곳은 다른곳도 많습니다 카페들을 돌아다니시다 보면 많이 볼 수 있을 겁니다
꾸준히 그리고 열심히 공부를 최우선으로 하시는게 가장 중요한것 같습니다

<다음 부분은 계획의 중요성을 말하고 있는 수기의 한 부분입니다>
저 같은 경우 각 과목별로 공부하는 데 있어서 중심이 되었던 방법은 소위 말하는 양치기였습니다^^; 과목별로 많은 문제집을 풀었죠. 물론 자신 있는 과목과 자신 없는 과목들 간에 차이는 꽤 있었지만요. 언어 같은 경우는 가장 자신 없었던 과목이었던 만큼 3년에 걸쳐 약 100여 권을 풀었지요. 그 경험이 쌓여 결국 수능에서도 언어를 잘 치를 수 있었다고 생각합니다. 그렇다고 무작정 문제를 많이 풀기만 해야 한다는 뜻은 아닙니다. 모든 과목에 있어서 문제를 많이 풀어보는 것은 분명 필요한 일이지만, 새로 얻는 것 없이 문제만 쌓는 것은 헛수고가 될 수도 있으니까요. 특히 수리나 과탐 영역의 경우는 충분히 풀 수 있는 문제들 가운데 자신이 알지 못했거나 생각하지 못했던 새로운 문제나 내용이 분명히 있을 것이고, 그런 부분을, 구멍을 메우기 위해서 문제집을 계속 풀어나가는 것이겠지요. 실력의 상승은 단시간에 쉽게 이루어지지 않습니다. 자신의 부족한 부분을 메우려는 노력들이 쌓이고 쌓여서 언젠가는 나타나게 되는 것입니다.

  또 공부하는 데 있어서 중요한 것은 계획이라 생각합니다. 뭐를 하든지 간에 계획적으로 하고, 그 계획에 충실히 임한다면 좋은 성과를 가져올 수 있을 거에요. 저도 생활 속에서 항상 계획을 세우고 생활하려 노력했습니다. 뭐 그렇다고 생활의 모두를 다 계획적으로 착착 움직여야만 한다는 것은 아닙니다; 될 수 있으면 공부 시간을 어떻게 사용할 것인가와 남는 시간은 또 어떻게 쓸 것인가 하는 것, 이런 것들에 미리 계획이 어느 정도 서 있다면 시간을 낭비하는 일은 확실히 줄어들겠지요.

저도 그렇게 하려고 노력했구요. 이런 생각을 하면서 생활하니 비교적 효율적으로 시간을 사용할 수 있었던 것 같습니다. 저 같은 경우 공부할 계획을 세울 때는 과목별로 하루 단위의 목표를 세웠는데요. 하룻동안 언어영역 10지문, 수리 30문제, 뭐 이런 식으로 목표를 잡고 최소한 그 목표는 다 달성하도록 노력했습니다. 그리고 일찍 목표를 다 하면 부족한 과목을 더 보충했구요. 일단 자신에게 가장 부족한 것이 무엇인가를 생각해보고, 과목별로 이론이 부족한 건지, 응용이 부족한 건지 등을 생각해 보고 적절한 계획을 세워 공부한다면 시간을 잘 보낼 수 있을 겁니다.

몇 가지 당부

대개 (수능 공부할 때의) 저를 포함하여 많은 사람들이 실수하는 부분이 몇 가지 있습니다. 우선 그것들에 대하여 간략히 설명 드릴까 합니다.

그 첫 번째는, 자신의 페이스(pace)를 제대로 유지하지 못하는 것입니다. 어떤 날은 컨디션이 좋아 밤새도록 공부하고, 그 다음날은 지쳐 대충 하는 척만 하다가 끝내버리고. 어떤 날은 생각 없이 놀아버리고 그 다음날 후회하면서 밤새고… 이런 식의 공부는 그다지 좋지 못합니다. 여러분들이 한 순간 한 순간을 최선을 다해 공부한다면, 절대로 밤을 새서 공부해야 될 필요가 없습니다.
꾸준히, 적절한 양을 공부하세요. 만약 놀고 싶다면, 그것 또한 계획에 넣고 페이스를 유지해 주면 됩니다. 그리고 정말 힘들어서 페이스를 유지하기 힘든 날이라면 상황에 맞추어 공부 양을 줄여야겠지요. 하루하루 공부해야 할 양까지 유지하란 이야기는 아닙니다. 전체적인 흐름을 유지시키세요 놀때는 정말 화끈하게 놀고 공부할 때도 정말 화끈하게 공부하는 페이스를 유지하시는게 바람직합니다

‘아 놀고 싶은데 몇일있다 시험이네 공부는 안되고....’ 이런 생각이 든다면 과감하게 노십시오 공부해도 머리에 안들어 올정도로 힘드시다면요 물론 견딜 만큼이면 멋지게 공부에 돌입하시면 되지만 그게 아니라면 편하게 쉬시거나 하시고 싶은걸 하셔서 그 뭉쳐진 스트레스를 풀어버리십시오

그리고 두 번째는, 주변 상황에 휘둘리지 않는 것입니다. 물론 이것도 첫 번째에 해당하겠지만, 몇 가지 특별한 경우가 있습니다. 학교의 내신시험과 ‘수시’라는 것. 많은 경우에 내신시험을 볼 때 수능감각을 잃기 쉽고, 수시 시험을 보는 기간에 자신이 쓴 학교에 붙을까 하는 희망과 주변 사람이 한 명 한 명 붙을 때마다 흔들리기 쉽습니다. 내신 시험이 끝나면 수능 감각을 찾는 방향으로 먼저 공부하는 게 좋습니다. 간단한 문제부터 몇 개 풀어보고 쉬운 모의고사를 봐 보는 것도 좋습니다.
수시 때는 항상 흔들리지 말라는 말을 하지만, 그것을 완전히 극복하는 것은 매우 쉽지 않습니다. 자신의 미래에 대한 계획을 생각해 보고, 그것에 대해 확신을 가지세요. 꿈이라는 것만큼 힘이 되는 것도 없는 것 같습니다.

‘야 수학 진짜 쉬웠지? 13번에 답 4번이지?’ 시험이 끝나고 나서 꼭 반에 이런 학생 있습니다 그러며 그걸 듣는 한 학생은 ‘난 어려웠는데 ....또 점수 떨어지겠네’ 이런 생각을 가질 수 있습니다 절대로 휘둘리지 마세요 ! 아직 끝나지 않은 게임입니다 다음 시험을 위해서 열심히 준비하셔야 합니다 그리고 정말 최선을 다하고 부끄러움 없는 공부를 해왔다면 주위에서 머라 그러든지 절대 휘둘리시지 않을 겁니다!
또 참고로 문제집 이거 꼭 풀어야 한데~ 이 참고서 꼭 사야해~ 이런 부분에 현혹되지 마시고 자기 풀만큼 자기실력에 맞는 만큼 사서 푸십시오
EBS 신간나왔다고 미리미리 사지마시고 지금 있는 책을 다 풀면 사십시오 품절 안됩니다
그 해 나온것은 구할 수 있습니다


그리고 마지막으로, 모의고사 점수에 얽매여 사는 것입니다. 신경을 쓰지 말라는 이야기가 아닙니다. 모의고사에도 분명히 신경을 써야 하고, 최대한 올릴 수 있으면 올리는 것이 좋습니다. 다만 모의 하나 하나에 얽매여 공부 방향까지 바꿔버리는 경우도 생각보다 많습니다. 게다가, 그 점수에 얽매이는 순간 마음가짐 하나만으로도 수~수십점이 오르락 내리락 하기도 합니다. 모의고사는 수능감각의 유지와 현재의 위치확인용 정도로 생각하면 됩니다. 어떤 부분을 보강해야 하는지에 대해서 모의고사로 대충 갈피를 잡고, 원래 자신의 계획에 부족한 부분을 조금씩 덧대는 방향으로 나아가면 충분합니다. 예외로, 평가원의 기출문제를 죽 풀면 대충 알겠지만 6월, 9월 모의고사는 출제 방향에 대해서도 생각해 봐야 합니다. 언어영역 같은 경우는 특히 평가원의 문제들을 위주로 공부하면 좋습니다.

아 한 가지만 더 얘기하자면 간혹 선생님들이 3월 모의고사 점수가 수능까지 간다고 얘기하곤 하는데요. 뭐 많은 학생들이 그 말을 듣고 3월에 굉장히 신경을 많이 쓰곤 하죠. 그렇지만 그 말을 곧이곧대로 받아들이실 필요는 없습니다 그 말은 좋은 쪽으로 받아들이세요. 자기 점수가 맘에 안 들면 그냥 무시해도 괜찮습니다. 앞으로 남은 기간 동안 더 올리면 된다고 생각하세요. 같은 시간이라도 사용하기에 따라 충분히 좋은 성과를 낼 수 있습니다. 실제로 제 주변에도 수능 때 3월 모의고사보다 한 5~60점 오른 사람도 많으니까요. 3월 점수에서 더 올리느냐, 그대로 가느냐, 혹은 더 떨어지느냐를 가르는 건 결국  남은 수험생활을 어떻게 하느냐에 달려 있습니다.
모의고사는 모의고사 일 뿐입니다 물론 잘보면 좋지만 수능에서 못보면 안되잖아요
그러니 실전에서 좋은결과 얻을 수 있도록 최선을 다하세요 물론 모의고사를 보면서 실력을 쌓을 수도 있습니다 어떤 모의고사든지 최선을 다해서 보세요~

여기까지 대략적인 수험생이 수능공부 할 때 도움이 되는 내용을 부족하지만 몇가지 적어봤습니다 공부라는게 쉬우면서 참 어렵습니다 형이 동생한테는 ‘야 들어가서 공부해’ 라고 말은 쉽게하지만 정작 자기는 공부를 할려고 해도 귀찮아서 안하게되고 그렇습니다
최선을 다한다는거 ‘공부를 한후 거울을 바라봤을 때 웃음 지을 수 있을만큼만 공부하세요’
공부하고 나서 거울에 비친 모습이 가장멋지고 아름다울 테니까요...

부분적으로 덧글을 붙여봅니다 수학공부에 대한 얘기입니다
<제가 제일 취약했던 과목은 수학이예요. 수능을 1년 다시하게 된 이유도 수학 때문이었지요. 지금까지 수학 때문에 많이 어려움을 겪었고, 또한 그것을 극복해오면서 깨달은 것도 좀 있어서 두 가지만 적어볼께요.
먼저, 수학은 머리에 의존해야하는 과목이라는 생각을 하기 쉽습니다. 하지만 현재 수능 수학문제는 독창적인 사고를 필요로 하는 경시대회 수준의 문제가 아니라 교과내용을 얼마나 알고 있는가하는 수준의 문제들입니다. 다시 말해서 누구나 교과내용을 ‘충실히’ 알고 있다면 풀 수 있다는 뜻입니다. 여기서 ‘충실히’라는 말이 중요한데, 이것은 스스로 교과서 내용 중에서 어느 부분에도 막힘없이 설명해낼 수 있다고 말할 수 있는 수준이 되어야 한다는 의미예요. 다들 한번씩은 ‘본’ 내용일지는 모르지만 ‘알고 있는’ 내용은 아닐 수 있다는 것이죠. 따라서 수학공부를 시작하려면 일단 교과내용의 충실한 이해가 선행되어야 할 것입니다.

또한 수학은 기본적으로 ‘암기과목’이라는 것을 알아주셨으면 좋겠어요. 물론 암기의 주요 대상은 교과내용이겠지만, 그뿐만 아니라 교육과정보다 살짝 높은 수준의 공식도 포함되어야 할 거예요. 예를 들면 심화 미적분에서 나오는 로피탈의 정리와 같은 것들은 사실 교육과정 외의 내용이죠? 하지만 이 정리는 극한 문제의 풀이에 있어서 엄청난 시간의 이익을 가져다줍니다. 이런 식으로 교과서 귀퉁이나 문제집 구석에 나와있는 약간 심화된 내용들도 빠짐없이 알아둔다면 많은 도움이 될 것입니다. 고등학생이 중학생 문제를 푸는 것이 쉬운 것처럼, 심화된 내용을 알고 있는 학생이 자신의 교육과정 수준의 문제를 풀게 되면 훨씬 쉬워지게 되는 것이죠. 또한 현재 수능 체제에서는 문제를 얼마나 빠르게 푸느냐가 중요한데, 이런 공식들을 이용하여 문제 풀이 시간을 대폭 줄여주게 된다면 그만큼 자신의 실력은 높아지게 되는 것이죠.
사실 다들 너무도 당연하게 알고 있을 내용이라 별 도움이 안될 거 같네요. 하지만 이 글을 읽고서 자신이 당연하게 생각하던 것들을 과연 실천하고 있는가 하는 생각을 할 수 있는 기회가 된다면 기쁠것 같네요.> - 이 부분은 한 학생의 수학 공부에 대한 작은 이야기입니다 짧지만 편안하게 읽으시면서 수학 공부에 도움이 되었으면 하는 마음으로 작성하신 글입니다

이어지는 글은 수학 학습법에 대한 다른 이야기 입니다
수학학습법 by Cain

10-가,나를 잘 해두자.

수학강사들 중 많은 사람들이 10-가,나의 중요성을 간과한다. 박 모 강사의 경우 10-가,나에서는 도형만 알면 된다는 식으로 말할 정도로-_-. 하지만, 난 나에게 수학을 잘 하려면 어떻게 해야하느냐고 묻는 사람들 모두에게 말한다. 공통수학 실력이 진짜 수학실력이라고. 일종의 수기니까 내 얘기를 하자면, 나는 중학교 때 수학경시를 했기 때문에 중학교 수학경시의 수준쯤은 모두 포괄하는 10-가,나를 여러번 반복했고 그 결과 수학만큼은 웬만한 애들보다 못 한다는 생각은 하지 않을 자신감을 갖고 있다. 10-가,나를 잘했을때의 장점을 얘기해보면, 첫째는 자신감이다. 설령 수1,수2,미적분이라고 해도 10-가,나를 잘 알면 꼭 출제자가 생각했던 방식이 아니라도 조금 돌아서 풀 수 있는 방법이 많은 경우 존재한다. 그런 방법을 생각해 낼 능력이 있다면 이 험난한 수리영역 공부에 하나의 빛이 되지 않을까? 둘째로는 이해의 정도이다. 예를 들어, Cauchy-Schwartz 부등식은 10-가에서는 그냥 외우지만 수2 벡터를 배우게 되면 너무나도 자명하다는 걸 알 수 있다. 또, 10-나에서 직선,원의 방정식 역시 수2의 위치벡터를 배우면 사실상 별 다를것이 없다. 10-가 방정식의 이론에서 나오는 근의 위치판별은 수2 미적분에 나오는 중간값 정리의 응용이다. 이런 식으로 10-가,나는 활용할 수 있는 곳이 넘쳐난다.

개념을 정확하게 알자.

고2 때까지만 해도 난 개념에 대한 생각이 별로 없었다. 고2 4월 정도부터 오르비를 시작했고 거기서 사람들이 입만 열면 교과서나 개념을 외쳐댔기에 중요한가보다 하고 있었을 뿐 어떻게 개념을 공부할지, 혹은 왜 개념을 정확하게 알아야하는지 몰랐다. 개념의 중요성을 알게 된 것은 고3에 들어오면서부터. 난 수시를 생각하고 있었기 때문에 심층면접을 준비해야했고 그 때부터 나의 개념공부가 시작되었다. 역시나 개념은 교과서를 보는게 최선이었는데 수학교과서를 마치 고1 때 국사 교과서 정독하듯이 읽었다-_-;; 뭐 대부분의 사람들이 하는 말이지만 남에게 설명할 수 있을 정도로. 그리고 문제를 보면 어떤 개념을 묻고 있는 문제인지 바로바로 떠 올릴 수 있을 정도로. 그 효력은 평가원에서 치른 6월,9월,그리고 수능 수리영역 100점과 서울대학교 심층수학면접의 결과로 설명이 될 수 있을거라고 본다-부연하자면 평가원모의,수능 모두 한번에 문제를 다 풀어내지는 못했다. 하지만 막히는 문제에서 묻고 있는 개념을 다시금 확인함으로써 모두 깔끔하게 풀어낼 수 있었다.

반복의 힘을 간과하지말자.

고3 때 내가 공부한 수리영역 책을 나열해보면 다음과 같다. EBS 전체, 생각의 질서, 넘기는 모의고사 3권, 교과서. 그 중에서 교과서,생각의 질서, EBS 인터넷수능-미분과 적분 이 세 가지는 정말 너덜너덜할 정도로 봤다. 솔직히 저 책들은 그다지 어려운 문제는 없다. 그럼에도 불구하고 저 책들에 목을 매달았던 이유는 ‘수능에는 어려운 문제만 나오는 것은 아니다’ 이거 였다. 고3이 되자마자 고1,2 때 수리영역에서 틀렸던 문제들을 쭉 분석해봤고 그 결과 얻은 결론은 ‘쉬운 문제 틀리지 말기’였다. 그리고 그 결론을 실행하기 위한 유일한 방안은 반복이었고. 물론, 쉬운 건 안 틀리는데 어려운 문제를 못 풀어서 성적이 안 나온다는 사람들에겐 어려운 문제를 푸는 것이 중요하다. 하지만, 설령 그런 사람들이라고 해도 어려운 문제를 잡아놓고 남들 다 맞추는 쉬운 문제를 틀려서 원하는 대학에 가지 못하는 우를 범하지는 말기 바란다.

수학 공부 방법은 오르비 또는 다른 사이트에 정말 대단한분이 많으십니다 그분들의 글을 참고 하시면 더욱더 도움이 될 것 같습니다 현재 제가 운영하는 홈페이지에서  http://fernweh.co.kr
올해 6월 9월 평가원 모의고사 수리대비 모의고사 수리가형(미적분) 나형 30문항 씩 제작 하고있습니다 평가원 모의고사 2주전에 공개할 예정입나다 작년에 6월 버전 공개 반응이 좋아서 현직에 계신 선생님들과 인터넷 강의 하시는 연구원 분들 께서 검토와 문제 제공을 해주십니다 물론 저희 학생들이 주축이 돼서 하고 있습니다 어디선 본 문제 일 수도 있으시겠지만 수능에 최대한 알맞게 재수정해서 공부에 도움을 드리겠습니다
  

기출문제 즉 올해 6월 9월 평가 문제는 반드시 여러분 풀어보셔야 합니다 제가 공부했 을때는 04년도 평가원 05수능 05평가원 문제를 제본해서 정말 열심히 풀고 다시 생각해보고 했습니다 제가 했던 제본을 스캔을 조금 해봤습니다 결국 낙서한거에 지나지 않지만 도움이 되었으면 하는 마음에 올려 봅니다...