2014학년도 3월 서울시교육청 A형 30번

2013년도에 시행된 3월 모의고사 A형 30번에 관한 제 풀이입니다.

해설지에 나온 풀이도 좋은 풀이지만 다른 방식으로 생각할 수 있다는걸 알려주는 풀이입니다.

 

 

 

먼저 이 문항에서 체크해야 할 부분을 확인해보겠습니다.

 

1) 첫째항이 60 , 

 

2) 등차수열 (보통 수열을 얘기 할 때 심화적으로 생각해볼만 한 것은 이 수열이 증가수열, 감소수열의 성질을 갖고 있는지 확인 해 봐야 합니다. 이 확인은 추후에 하게 됩니다.)

3) 새로운 수열의 정의

 을 새롭게 정의하고 있다는 걸 확인해야 하며, 절댓값을 취하고 있다는 것도 기억하고 있어야 합니다.

4) (가)

 조건이 주어졌습니다. 이 말은 첫 번째 항부터 19번 째 항 까지의 합 보다 첫 번째 항에서 20번째 항 까지의 합이 더 크다는 걸 말하고 있습니다.

5) (나)

 

이 조건이 이 문제를 푸는 데 핵심적인 아이디어를 제공해줍니다. 1~20번까지 더한 값에 절댓값을 취한 상태가 1~21까지 더한 값에 절댓값을 취한 상태와 같다는 겁니다. 분명 등차수열은 증가하거나, 감소하는 게 일반적입니다 (물론 공차가 0 이 아닐 때) 그렇다면 어떻게 된 것일지 생각해본다면 이렇게 생각할 수 있습니다.

 

이 더 더해지고 더해지지 않은 차이라는 것은 이 21번 째 항이 이 식에서 아무런 영향을 주지 않는다는 것입니다. 그 말은 즉 이 21번째 항의 값이 0 이라는 걸 알 수 있습니다.

 이제 결론을 말해보자면 첫번 째 항은  양수입니다. 그런데 21번 째 항이 0 이라는 것은 공차가 음수라는 걸 뜻하고 이 수열은 등차수열이면서 감소수열의 특징을 가지고 있습니다.

 

 

이제 문제를 풀기 위해서 문제에서 구하라고 하는 것을 보도록 하겠습니다.

 

 

1~n 항까지의 합이 1~n+1 까지의 합 보다 크다는 것입니다. 그런데 최댓값 최솟값을 구하라고 하네요?

아하! 이 말은

이와 같이 부등식으로 표현 할 수 있다는 걸 알 수 있습니다.

이 말은 결국 모든 n에 대해서 되는 것이 아니며, 어느 특정 구간 안에서만 존재하는 성질인 것을 추론 할 수 있습니다.

 자 이제 이 식의 복잡함을 줄이기 위해서  단순화 해서 풀어보도록 하겠습니다.

단순화 할 때 중요 한 것은 이 문제를 푸는데 핵심적인 성질은 그대로 가져와야 합니다.

즉 , 등차수열, 감소수열, 특정한 항에서 값이 0 , 첫번 째 항은 양수 이 조건을 그대로 써야 합니다.

자 그러면 한 번 예를 들어 볼까요?

 

 

 

이 수열을 통해서 추론 해보겠습니다. 여러분 한 번 이 수열을 차근히 더하다보면 합의 부호가 변하거나, 더해지는 항의 값의 부호가 변한다는 걸 알 수 있습니다.

 다음과 같은 일반적인 사실을 알 수 있습니다. 양수끼리 더해나간다면 더해가는 항의 개수가 많을 수록 값은 커집니다. 하지만 만약 음수가 더해진다면?  바로 이런 의문점이 이 문제를 푸는데 도움을 줍니다.

음수가 더해진다면, 전체 합은 음수가 더해지기 전의 전체 합보다 작아집니다.

 

그렇다면 위에서 바로 0 이 이 문제에 첫번 째 핵심이 됩니다.

왜냐하면, 0 이 나온 3번째 항 다음에 -2 가 나오기 때문입니다.

그렇다면

의 최솟값은 여기서 3이 됩니다.

 가 되는 것이죠 자 이제 그렇다면 최댓값을 한 번 생각 해볼까요?

하나씩 더해나가다 보면 양수로 시작된 합이 어느순간 합 자체가 0 이 되버리는 순간이 존재 합니다. 바로 이 순간이 문제입니다. 전체 합이 0이 된 후 그 다음 항이 더해지게 되면 음수가 더해지므로 음수가 되지만 절댓값이 있으므로 다시 양수가 되서 점점 전체 합은 커지게 됩니다. 그렇다면 이 문제에서 구하라고 하는 조건에 맞지 않습니다. 그러므로, 전체합이 0 이 되는 경계선을 생각해야 합니다.

바로 위에 예를 든 수열에서 5번 째 항까지의 합은 0 이 됩니다.

즉 5번째 항을 넘어서는 안됩니다. 그러므로 여기서 최대가 되는

의 값은 4가 되어야 합니다. 5가 아닙니다. 5가 될 경우 문제에 주어진 조건에 대입하면,

이 되는데요 이것은 만족하지 않습니다.

 

자 이제 여러분 한 번 주어진 문제 수열을 제가 알려드린 단순화 성질을 통해서 풀어보세요.

먼저 주어진 수열에서 0 이 나오는 항을 찾고 , 전체합이 0 이나오는 항을 찾으면 됩니다.

0이 나오는 항 자체가 여기서 최솟값이 되고  전체합이 0 이되는 항의 번호에서 -1 을 한 것이 최댓값이 됩니다.

 

이 문제의 답은 61입니다.