수능특강 수리 수1A형 행렬 분석

 

1강 행렬과 그 연산 by-바람의목소리

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이번 수능특강 수1A형에서 1강에서 중점적으로 살펴볼 행렬의 개념은 다음과 같습니다.

 수능특강 수1A형이 이번에 새롭게 나왔습니다. 그래서 앞으로 우수문항 분석과 어떻게 수능특강을 가지고 준비해아 할지를 알려드리고자 합니다.

 

이라는 내용을 토대로 책의 전반적인 내용을 이루고 있습니다.

위 식의 경우 이미 기출에서 출제된 적이 있습니다. 물론 행렬에서는 일반적으로  행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 위 식을 토대로 시험문제를 많이 출제하곤 합니다.

기출문제에서는 다음과 같은 내용을 물어봤습니다.

합답형으로 출제가 된 내용입니다.

ㄷ. 

과연 이것이 성립하냐를 물었습니다. 이 말은 서로 다른 세 행렬 A,B,C가 서로 교환법칙이 성립하는지를 묻는 것이기 때문에 이미 출제된 내용을 가지고 EBS 에서 다시 한 번 건들인걸로 보입니다.

 먼저 우수 문항을 알려드리고 우수문항에 대한 간단한 코멘트를 하겠습니다.

페이지 11) 4번 문항

-> 이 문항에서의 핵심은 A, E 는 교환법칙이 성립하고, 주어진 두 식이 합차를 통한 인수분해가 가능하다는 겁니다. 또한 요즘 출제되는 경향 중에 하나가 행렬 A의 모든 성분의 합을 구하거나 합을 주고 또 다른 합을 구하는 과정을 출제할 때가 있습니다. 이 때 생각해야 할 것은 A 성분을 다 구해서 구해야 할 것인가 아니면 주어진 식만을 이용해서 구할 수 있을 것인가 입니다.

 문제에 따라 다르겠지만 아직 수능과 평가원에서는 A 성분을 일일이 다 구하기를 원하지는 않습니다.

그렇다면 여기서 우리는 하나를 알고가야 합니다. 잘 생각해보면 주어진 행렬에서 A의 성분 합이 주어져 있고 E의 경우 우리는 이미 성분을 알고 있고 성분의 합이 2로 일정하다는 걸 알기 때문에 이 두행렬을 적절히 이용해서 풀어야 한다는 걸 알 수 있습니다.

페이지 13) 1번문항

-> 이 문항에서 우리는 두가지를 확인하고 가야합니다. 첫 번째 만약 문제에서 행렬에 대한 성분의 값이 주어진다면 다음과 같은 생각을 해야합니다.

주어진 행렬이 역행렬을 갖는지, 아니면 갖지 않는지를 알아야 합니다. 역행렬을 갖는다면 역행를 성절일 이용해 볼 수 있지 않을까? 생각할 수 있기 때문입니다.

(이 부분은 2강에서 다시 얘기하겠습니다.)

먼저 주어진 행렬을 잘 보면 

  

을 잘 보면 괄호 안에 BA를 어떻게 해결 할 것 인가를 생각해야 하는데요.

전 문제를 보자마자 교환법칙이 성립하는 행렬일까? 라는 의문점을 가지고 AB=BA 성립 여부를 확인 했습니다. 그 결과 이 두 행렬 곱은 교환법칙을 성립하지 않습니다. 아마 여러분은 이 과정에서 이것만 확인 했을거라 생각하겠지만, AB의 곱을 해본 순간 먼가 규칙이 있는거 같다라는 생각을 했습니다.

그래서 저는 항상 학생들한테 강조하는 행렬이 묶여 있으면 반드시 풀어보라는 말을 합니다. 예를 들어서

이렇게 풀어 놓으라고 합니다. 자 그렇다면 위의 식을 한 번 풀어 적어 봅시다.

n에 일정 한 수를 넣으면서 나열하겠습니다.(나열하지 않고 일반화 할 수 있지만 몇몇분들이 이해하는데 어려움을 겪을 것 같아서 규칙을 보여드리고자 합니다.)

이렇게 교환법칙을 확인 후 AB 행렬에서 규칙을 발견한다면 주어진 식을 펼친 후 AB를 이용해봐야겠구나 라는 생각을 해야 합니다. 잘 보면 n=1 일 때는 (AB) 가 2개 이고 n=2일 때는 (AB)가 3개 입니다.

즉 n=p 라면 (AB)의 개수는 p+1 입니다.

이것을 이용해서 주어진 식을 정리하면 됩니다.

이 문제의 경우 조금 더 쉽게 생각되는 이유는 성분의 합이 1025라는 것입니다. 

라는 성질을 알고 있다면 전체적인 성분의 합이 2의 거듭제곱 꼴로 나온다는 걸 알 수 있습니다.

이란 걸 알 수 있습니다. 결국 주어진 식  의 성분의 합이 1025가 되는 n을 찾아야 하는데요

n=1 일 때 

이 됩니다. 즉 위에서 얘기했던 n=p 라면 (AB)의 개수는 p+1 라는 게 나옵니다.

자 그러면 우리가 결국 찾는 값은 

가 되므로 n=9  가 된다는 걸 알 수 있습니다.

 =

라는 일반화를 할 수 있습니다. 바로 일반화를 한다면 더욱 좋겠지만, 그것이 힘들다면 차근히 숫자를 줄여나가면서 규칙을 발견하는 게 요즘 행렬의 추세입니다.

자 그러면 우리 한 번 행렬을 정리해볼까요?

1. 교환법칙의 성립 여부를 확인해야 합니다.
2. 행렬이 서로 묶여 있으면 풀어야 합니다.
3. 규칙을 찾을 수 있을 때 까지 차근히 숫자를 넣어가면서 찾아보는 게 좋습니다.

자 그럼 우리 다음 2강에서 만나요 ^^ 1강에 우수 문항은 위 2문항입니다.

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